Математические модели роста численности популяции. Модель естественного роста численности популяций.

Модель экспоненциального роста. Если необходимые для популяции ресурсы имеются в изобилии, то естественно предположить, что скорость роста будет пропорциональна размеру популяции

r – удельная скорость роста численности, которую можно представить как разность r = b - d

Удельной рождаемости (birth rate) b и удельной смертности (death rate) d.

Решение уравнения имеет вид

Решение представляет собой формулу экспоненциального роста. Из уравненияследует, что с ростом t численность популяции растет неограниченно, как экспонента

Разумеется, ни в одной реально существующей популяции такой рост не наблюдается. Те предположения, на основе которых мы вывели уравнение (изолированность популяции, неограниченность ресурсов питания), в реальных природных условиях не выполняются. Таким образом уравнение (1) имеет смысл либо в теоретическом аспекте (она показывает как развивалась бы популяция, если бы ей не мешали и неограниченно подкармливали), либо описывает динамику искусственно созданной и поддерживаемой популяции (например, популяции грибков, выделяющих пенициллин). Величина а при этом называется специфической (врожденной) скоростью естественного увеличения популяции.

2. Модель логистического роста

Впервые системный фактор, ограничивающий рост популяции, описал Ферхюльст в уравнении логистического роста:

Логистическое уравнение обладает двумя важными свойствами. При малых зачениях х численность возрастает экспоненциально, а при больших – приближается к определенному пределу К. Эта величина, называемая емкостью экологической ниши популяции, определяется ограниченностью пищевых ресурсов, мест для гнездования, многими другими факторами, которые могут быть различными для разных видов. Таким образом, емкость экологической ниши представляет собой системный фактор, который определяет ограниченность роста популяции в данном ареале обитания.

Уравнение можно также переписать в виде:

Здеськоэффициент внутривидовой конкуренции (за пищевой ресурс, убежища и т. п.)

График функции x(t)   при разных начальных значениях численности популяции представлен на рис. Если начальное значение х0 < К/2, кривая роста имеет точку перегиба, численность популяции стремится к К. Если х0 > К, численность со временем убывает